Derivación y evaluación
Evalúa la integral:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \]Reescribe la integral separando un solo factor de seno:
\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]Utiliza la identidad trigonométrica \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) y sustituye:
\[ = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]Desarrolla el integrando:
\[ = \int (\cos^2(x) - \cos^4(x)) \sin x \, dx \]Utiliza la integración por sustitución: sea \( u = \cos x \), lo que da \( du = -\sin x \, dx \) o \( \sin x \, dx = -du \). Al sustituir esto se obtiene:
\[ = - \int (u^2 - u^4) \, du \]Utiliza la fórmula de integrales común \( \int u^n \, du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c \) para evaluar la integral:
\[ - \left( \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 \right) + c = - \dfrac{1}{3} u^3 + \dfrac{1}{5} u^5 + c \]donde \( c \) es la constante de integración.
Sustituye de nuevo \( u = \cos x \) para obtener la respuesta final:
Fórmula de la integral para \( \sin^3(x)\cos^2(x) \):
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = - \dfrac{1}{3} \cos^3(x) + \dfrac{1}{5} \cos^5(x) + c \]
Más referencias y enlaces
- Tabla de fórmulas de integrales
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8